1.3. КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ ПОДСТАНОВОК. Доказать, что если в группе G < Sn есть нечётная подстановка, то множество H всех её чётных подстановок есть подгруппа индекса 2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства этого факта рассмотрим группу G < Sn, содержащую нечётную подстановку. Пусть σ - нечётная подстановка из G. Тогда множество H всех чётных подстановок в G можно определить как H = {τ | τ = σ^k, где k - чётное}.

Покажем, что H является подгруппой в G:

Идентичная подстановка единичного цикла обязательно является чётной, то есть её можно представить как σ^0. Следовательно, H не является пустым множеством.Пусть теперь τ = σ^m и ρ = σ^n, где m и n - чётные числа. Тогда τ ρ = σ^m σ^n = σ^(m+n). Поскольку сумма двух чётных чисел также является чётной, то и σ^(m+n) также принадлежит H.Также необходимо проверить замкнутость на обратный элемент. Пусть τ = σ^m, тогда τ^(-1) = (σ^m)^(-1) = σ^(-m). Поскольку m - чётное, σ^(-m) также принадлежит H.

Покажем, что H имеет индекс 2 в G:

Поскольку σ является нечётной подстановкой, то любая чётная подстановка в H можно записать в виде σ^m, где m - чётное число. Таким образом, H содержит все чётные подстановки в G.Рассмотрим левый смежный класс по H: H σ = {τ σ | τ - чётная подстановка} = {σ * τ | τ - чётная подстановка} = {ρ | ρ - нечётная подстановка}.Таким образом, левый смежный класс H * σ содержит все нечётные подстановки.Следовательно, индекс подгруппы H равен |G|/|H| = 2.

Таким образом, если в группе G < Sn есть нечётная подстановка, то множество H всех её чётных подстановок является подгруппой индекса 2.