1.2. СТРОЕНИЕ ГРУПП. Пусть Ai = 〈S_i 〉, где i ∈ (1,n) ̅ – подгруппы абелевой группы (G; +). Доказать равенство A1 + . . . + An = 〈S_1 ∪ ...∪ S_n 〉.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что S_1 ∪ ... ∪ S_n содержится в A1 + ... + An, так как каждая подгруппа Ai содержит S_i, а следовательно содержит и их объединение.

Докажем теперь обратное включение: пусть x ∈ A1 + ... + An. Тогда существуют элементы a1 ∈ A1, ..., an ∈ An такие, что x = a1 + ... + an. Поскольку Ai = 〈S_i 〉, мы можем представить каждый элемент из Ai как линейную комбинацию элементов из S_i, то есть a_i = k_i1s_i1 + ... + k_ims_im, где k_ij ∈ Z, s_ij ∈ S_i.

Тогда x = a1 + ... + an = (k_11s_11 + ... + k_1ms_1m) + ... + (k_n1s_n1 + ... + k_nms_nm) = k_11s_11 + ... + k_nms_nm

Таким образом, элемент x представляется в виде линейной комбинации элементов из объединения множеств S_i, то есть x ∈ 〈S_1 ∪ ... ∪ S_n 〉.

Следовательно, A1 + ... + An = 〈S_1 ∪ ... ∪ S_n 〉, что и требовалось доказать.