Задача по геометрии пусть точка о - внутренняя точка стороны ас треугольника abc. докажите что длина отрезка ВО меньше полупериметра треугольника АВС

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала обозначим точки: A, B, C - вершины треугольника ABC, а точка O - внутренняя точка стороны AC.
Пусть AB = c, BC = a, CA = b. Тогда полупериметр треугольника ABC равен p = (a + b + c) / 2.

По неравенству треугольника имеем:
AC < AB + BC => b < c + a.

Так как точка O лежит на стороне AC, то точкой пересечения отрезка ОВ и AB обозначим точку K.

Теперь заметим, что треугольник BOA является подобным треугольнику BCK по признаку углов.
Следовательно, отношение длин сторон треугольников равно отношению длин отрезков:
BO / BC = AO / AC = OK / CK.

Так как треугольник BOA подобен треугольнику BCK, то отношение сторон треугольников равно отношению соответствующих сторон треугольников:
BO / BC = AO / AC = OK / CK => BO / c = AO / b = OK / (c + a).

Отсюда следует, что OK = (AO (c + a)) / b, а также что BO = (c AO) / b.

Подставим полученные выражения в неравенство: BO < p, где p = (a + b + c) / 2.

(c AO) / b < (a + b + c) / 2.
2 c AO < b a + b b + b c,
2 * AO < a + b + c,
AO < p.

Таким образом, длина отрезка ВО меньше полупериметра треугольника ABC.