ДЗ по геометрии 1. Диагонали четырехугольника АВСD АС и ВD пересекаются в точке О так, что
ОС = 5 см, ОВ = 6 см, ОА = 15 см, ОD = 18 см. Докажите, что в
четырехугольнике АВСD ВС || AD и найдите отношение площадей
треугольников АОD и ВОС
2 Перпендикулярно высоте BD треугольника АВС проведена прямая,
пересекающая стороны АВ и ВС в точках М и Р соответственно. Найдите АВ и
отношение площадей треугольников МРВ и АВС, если известно, что ВМ = 7 см,
ВР = 9 см, РС = 18 см.
3 Прямая EF пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС точках E и F
соответственно так, что ∠А + ∠EFC = 180°, а площадь четырехугольника AEFC
относится к площади треугольника EBF как 16 : 9 Докажите, что треугольник
BFE подобен треугольнику ВАС и найдите коэффициент подобия данных
треугольников.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия задачи мы видим, что треугольники АОС и ВОD равны по двум сторонам и углу между ними, так как у них есть общая сторона ОС и угол АОС равен углу ВОD. Из этого следует, что у них также равны все остальные углы. Следовательно, эти треугольники подобны.

Так как треугольники АОС и ВОD подобны, это значит, что углы А и D равны, а углы С и B равны. А значит, угол ВСА равен углу ADО. Так как сумма углов треугольника равна 180 градусам, то угол В равен углу О. Это значит, что ВС || AD.

Площадь треугольника АОD равна 0,5 ОА ОD sin(угол АОD), а площадь треугольника ВОС равна 0,5 ОВ ОС sin(угол ВОС). Так как углы АОD и ВОС равны из-за подобия треугольников, то отношение площадей равно отношению ОА ОD к ОВ ОС, то есть 15 18 / (6 5) = 9.

Поскольку BD - высота треугольника, то треугольник ВМР подобен треугольнику ВРС по признаку общих углов.

Отношение высот треугольников ВМР и ВРС равно отношению ВМ к ВР, то есть 7/9.

Так как треугольники ВМР и ВРС подобны, то их площади относятся как квадраты отношения сторон, то есть (7/9)^2 = 49/81.

Из условия задачи мы видим, что угол AFC равен углу EFB. Так как угол AFE + угол EFC = 180 градусов (прямой угол), то по теореме об углах, вписанных в окружность, угол AFC также равен углу EFA.

Из того, что четырехугольник AEFC подобен треугольнику EBF в пропорции 16:9, мы можем сделать вывод, что отношение сторон AF к EF равно квадрату данной пропорции, то есть (16/9)^0.5 = 4/3.

Так как угол BFE равен углу В, а углы EBF и ВАС равны из-за того, что треугольники подобны, то треугольники BFE и ВАС подобны с коэффициентом подобия 4/3.