В равнобокой трапеции боковая сторона делится точкой касания вписанной окружности на отрезки с длинами 6 см и 9 см. Найдите (в кв. см) площадь круга, вписанного в трапецию

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть радиус вписанной окружности равен r, а основания трапеции равны a и b.

Так как боковая сторона трапеции делится точкой касания вписанной окружности на отрезки с длинами 6 и 9 см, то мы можем записать следующее:

a + b = 15 (6 + 9 = 15)

Также по свойству касательной и радиуса, можно составить следующее уравнения:

b - a = 2r

Решая систему уравнений, найдем a и b:

a = (15 - 2r)/2
b = (15 + 2r)/2

Площадь трапеции можно найти как:

S = (a + b)*h/2, где h - высота трапеции

Так как боковая сторона трапеции равна сумме оснований, мы можем записать:

S = 15*h

В то же время, площадь трапеции можно найти как разность площадей большего и меньшего треугольников, образованных высотой и радиусом вписанной окружности:

S = (a + b) h/2 = (a + b) sqrt(r^2/2) = 15 * sqrt(r^2/2)

Так как и обе выражения равны S, то мы можем записать:

15 h = 15 sqrt(r^2/2)

h = sqrt(r^2/2)

Так как h - это радиус вписанной окружности, и площадь круга равна pi*r^2, то можно найти:

S = pi(r^2/2) = pir^2/2

Ответ: площадь круга, вписанного в равнобокую трапецию, равна pi*r^2/2.