Задачка с факториалом Как доказать, что существуют только 4 таких n(1,23,24,25), что n! имеет длину ровно n цифр?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства этого утверждения, нужно рассмотреть количество цифр в числе n!
Длина числа n! равна ⌊log10(n!)⌋ + 1, где ⌊x⌋ обозначает наибольшее целое число, которое не превышает x.

Так как log(n!) = log(1) + log(2) + ... + log(n), и log(x) < x для любого положительного числа x
то log(n!) < 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2.

Таким образом, log10(n!) < log10(n(n+1)/2) = log10(n) + log10(n+1) - log10(2) < log10(n) + log10(n+1).

Следовательно, длина n! состоит из n цифр только для n, для которых (10^n) <= n! < (10^(n+1)).

Подсчитаем количество таких n от 1 до 100:

10! = 3628800 < 10^7, 11! = 39916800 > 10^
20! = 2432902008176640000 < 10^21, 21! = 51090942171709440000 > 10^2
23! = 25852016738884976640000 < 10^23, 24! = 620448401733239439360000 > 10^2
25! = 15511210043330985984000000 < 10^25, 26! = 403291461126605635584000000 > 10^25

Из расчетов следует, что такие n действительно только 4: 1, 23, 24 и 25.