Разложить вектор на сумму двух векторов Разложить вектор х(-1,3,-5) на сумму двух векторов , один из которых лежит в подпространстве, натянутом на векторы а1(1,0,2),а2(0,1,1), а другой ортогонален этому простанству

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Найдем проекцию вектора х на подпространство, натянутое на векторы a1 и a2.
Для этого найдем базис векторов a1 и a2:
a1 = (1,0,2)
a2 = (0,1,1)

Так как вектор х не лежит в плоскости, натянутой на a1 и a2, его проекция будет ненулевой и равна:
proj_a(x) = (x a1) / ||a1||^2 a1 + (x a2) / ||a2||^2 a2

Где (x * a1) - скалярное произведение векторов x и a1, ||a1||^2 - квадрат нормы вектора a1.

Таким образом:
(x a1) = -1 1 + 3 0 + (-5) 2 = -11
(x a2) = -1 0 + 3 1 + (-5) 1 = -8
||a1||^2 = 1^2 + 0^2 + 2^2 = 5
||a2||^2 = 0^2 + 1^2 + 1^2 = 2

Подставляем все значения:
proj_a(x) = (-11 / 5) (1,0,2) + (-8 / 2) (0,1,1)
proj_a(x) = (-11 / 5, 0, -22/5) + (0, -4, -4)
proj_a(x) = (-11/5, -4, -46/5)

Теперь найдем ортогональную составляющую вектора x относительно подпространства, натянутого на a1 и a2.
ort_a(x) = x - proj_a(x)

ort_a(x) = (-1,3,-5) - (-11/5, -4, -46/5)
ort_a(x) = (-1 + 11/5, 3 + 4, -5 + 46/5)
ort_a(x) = (-9/5, 7, -29/5)

Итак, разложение вектора х на сумму двух векторов:
х = proj_a(x) + ort_a(x)
х = (-11/5, -4, -46/5) + (-9/5, 7, -29/5)
х = (-20/5, 3, -75/5)
х = (-4, 3, -15)