Задача по геометрии В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60°. Высота пирамиды равна 3 см. Найдите объем и площадь поверхности.
Нужно найти через радиус, то есть чтобы в решении не было всяких косинусов, синусов и тд.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим боковое ребро пирамиды за (a), сторону основания за (r). Тогда можно разделить пирамиду на два прямоугольных тетраэдра: один из них с вершиной в середине бокового ребра и основанием, параллельным плоскости основания, имеет объем (\frac{ar}{2}), а его высота равна (\frac{\sqrt{3}}{2}a). Для другого тетраэдра с вершиной в вершине пирамиды получаем объем (\frac{ar}{2}), а его высота равна 3. Следовательно,

[V = 2\left(\frac{ar}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{ar}{2}\cdot 3\right) = \frac{5ar\sqrt{3}}{2}]

Для площади поверхности воспользуемся формулой (S = \text{Площадь основания} + \text{Площадь боковой поверхности}). Площадь основания равна (r^2), а площадь одной грани равна (\frac{1}{2}ar). Таким образом,

[S = r^2 + 4\cdot\frac{1}{2}ar = r^2 + 2ar]

В нашем случае (a = 2r), поэтому

[S = r^2 + 4r^2 = 5r^2]