Гении, жду Вас В треугольнике ABC точка K — середина AB, точка L — середина BC, AN — биссектриса угла A. Отрезки AN и KL пересекаются в точке M. Оказалось, что MK/ML=9. Чему равно AM/MN?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку треугольник ABC - это треугольник, в котором AN - биссектриса, мы имеем, что AM/MN = AB/NB.

Теперь заметим, что треугольники NML и KMA подобны (по двум углам), следовательно,

MK/ML = AM/AN = 9.

Таким образом, AM/AN = 9, откуда AM/(AM + MN) = 9.

Рассмотрим прямую, параллельную AC и проходящую через B. Пусть многоугольник BCED - четырехугольник, а линия MN пересекает BD в точке P.

Пусть AM = x, MN = 9x.

Заметим, что аналогично треугольнику NML, треугольники ANP и AMK подобны. Отсюда, получаем AN/AP = AK/AM = 1/9. Следовательно, AP = 9x.

Так как AM + AP = PB, и AM = x, тогда 2x + 9x = 11x = PB.

Из треугольника BCP, BN/BN = PC/PB. Получаем, что 10/2x + 9x = 11x = 10/x.

Тогда, x^2 = 10, AM/AN = sqrt(10).

Ответ: AM/MN = sqrt(10).