На ребрах CD и CC1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 отметили соответственно точки M и P так, что CM:MD=3:2, C1P:PC=1:1. Площадь треугольника A1MP равна площади грани ABB1A1. Найдите угол между плоскостями A1MP и ABB1A1.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим длины ребер параллелепипеда: AB = a, AD = b, AA1 = h.

Так как CM:MD=3:2, то MC = 3b/5, MD = 2b/5. Также из условия C1P:PC=1:1 следует, что PC1 = PC = x. Так как PP1 и C1C являются высотами треугольника PC1C, то PP1 = PC1sqrt(2), то есть P1С = xsqrt(2).

Так как S(A1MP) = S(ABB1A1), то h (a + xsqrt(2))/2 = h (b + 3b/5)/2. Отсюда a + xsqrt(2) = 5b/3 и a = 5b/3 - x*sqrt(2).

Теперь посчитаем скалярное произведение между векторами AM и AP: AMAP = 1/5 (axsqrt(2) + h^2 + a 3b/5 + x2sqrt(2) + 3bh). Подставляем найденное ранее значение a: AMAP = 1/5 ((5b/3 - xsqrt(2))xsqrt(2) + h^2 + (5b/3 - xsqrt(2)) 3b/5 + 2xsqrt(2) + 3bh).

Теперь находим косинус угла между плоскостями A1MP и ABB1A1 по формуле: cos(theta) = AMAP/(|AM||AP|). Наконец, находим угол theta как arccos(cos(theta)).

Таким образом, найден угол между плоскостями A1MP и ABB1A1.