Геометрия 8 клас В равнобедренном треугольнике ABC с равными сторонами AB и BC высоты BH
и AK пересекаются в точке P. Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что
AP = 6, BP = 1.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о пересечении высот в равнобедренном треугольнике. Так как треугольник ABC равнобедренный, то AK является медианой и биссектрисой, а BH - высотой и медианой. Поэтому треугольник APB также является равнобедренным, а значит, угол ABP равен углу BPA.

Таким образом, треугольник ABP равнобедренный и у него сторона BP равна стороне AP. Значит, угол ABP равен 90 градусам. Теперь мы можем найти длину стороны AB с помощью теоремы Пифагора: AB^2 = AP^2 + BP^2 = 36 + 1 = 37. Следовательно, AB = √37.

Теперь найдем площадь треугольника ABC. Поскольку стороны AB и BC равны, а треугольник ABC - равнобедренный, то у него сторона AC также равна √37. Рассмотрим треугольник APC. Мы можем разделить его на два прямоугольных: APB и BPC. Площадь всего треугольника равна сумме площадей этих двух треугольников: S(ABC) = S(APB) + S(BPC) = 0.5 AB BP sin(ABP) + 0.5 BP AC sin(BPC).

S(ABC) = 0.5 √37 1 sin(90) + 0.5 1 √37 sin(90) = 0.5 √37 + 0.5 √37 = √37.

Итак, площадь треугольника ABC равна √37.