Геометрия.. В треугольнике АВС медианы АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в
точке М. В треугольнике АВС медианы АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в
точке М. Через точки А1, В1 и С1 проведены прямые,
параллельные биссектрисам противолежащих углов. Докажите,
что эти три прямые пересекаются в одной точке.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство:

Пусть P — точка пересечения прямых, параллельных биссектрисам углов в треугольнике АВС.

Так как прямые AB1 и АС1 параллельны, то треугольники АВ1М и АС1М подобны (по теореме о параллельных прямых). Аналогично, треугольники ВА1М и ВС1М подобны, а также треугольники СА1М и СВ1М подобны.

Из подобия треугольников следует, что

\frac{АМ}{МС1}=\frac{АВ1}{ВМ}

\frac{ВМ}{МС}=\frac{ВС1}{СМ}

\frac{СM}{МА1}=\frac{СВ1}{ВМ}.

Умножив эти равенства, получим

\frac{АМ}{МС1}\frac{ВМ}{МС}\frac{СM}{МА1}=\frac{АВ1}{ВМ}\frac{ВС1}{СМ}\frac{СВ1}{ВМ},

то есть 1=1.

Следовательно, точка P лежит на всех трех прямых, параллельных биссектрисам углов, и тем самым доказано, что эти три прямые пересекаются в одной точке.