.Вычислите точки экстремума заданной функции и укажите их характер: y=2x−4cos x, x∈[−π/2;π]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения точек экстремума данной функции необходимо найти ее производную и приравнять ее к нулю.

y' = 2 - 4sin(x)

Точки экстремума будут находиться в тех точках, где производная равна нулю:

2 - 4sin(x) = 0
4sin(x) = 2
sin(x) = 0.5

Так как x принадлежит отрезку [-π/2, π], то мы можем найти значения x следующим образом:

x = π/6 и x = 5π/6

Теперь найдем вторую производную функции:

y'' = -4cos(x)

Подставим найденные точки экстремума во вторую производную:

y''(π/6) = -4cos(π/6) = -2√3
y''(5π/6) = -4cos(5π/6) = 2√3

Исходя из знака второй производной в точке экстремума можно сделать вывод о характере найденной точки экстремума:

Если вторая производная отрицательна, то точка является максимумом.Если вторая производная положительна, то точка является минимумом.

Таким образом, для данной функции:

Точка экстремума x = π/6 является максимумом.Точка экстремума x = 5π/6 является минимумом.