Сечение пирамиды, параллельное ее основанию, делит высоту пирамиды в отношении 2:3 (считая от вершины), а площадь сечения меньше площади основания пирамиды на 105. Найдите площадь сечения

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим площадь основания пирамиды как S_base, высоту пирамиды — h, а площадь сечения — S_cut.

Из условия задачи имеем:
h_1 : h_2 = 2 : 3
S_base - S_cut = 105

Площадь сечения равна площади основания минус площадь трапеции с основаниями S_base и S_cut и высотой h_1 + h_2. Таким образом, выразим площадь сечения через известные величины:

S_cut = S_base - (1/2) (S_base + S_cut) (h_1 + h_2)

Подставим известные значения и решим уравнение:
S_cut = S_base - (1/2) (S_base + S_cut) (2h + 3h)
S_cut = S_base - (5/2) (S_base + S_cut) h
S_cut = S_base - (5/2) (S_base - 105) h
S_cut = S_base - (5/2)S_base*h + 525h

Так как h_1 : h_2 = 2 : 3, сумма коэффициентов при S_base*h и h равна 5/2:

(5/2)S_baseh + 525h = (5/2)S_baseh + 105h
525h = 105h
h = 105/5 = 21

Теперь найдем S_base. Подставим выраженное значение h в первый исходный уравнение:

2h + 3h = 5h
5h = 105
h = 21

Теперь найдем S_base:

2S_baseh = 105
2S_base21 = 105
S_base = 105 / 42 = 2.5

Теперь найдем S_cut, подставив известные значения:

S_cut = 2.5 - 525*21 = 2.5 - 11025 = -11022.5

Ответ: площадь сечения равна -11022.5.