Найдите точки максимума и минимума функции: f(x)= 3x3 - 9x2 - 6

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти первую производную функции f'(x).

2. Решить уравнение f'(x) = 0, чтобы найти критические точки.

3. Определить знак второй производной f''(x) в критических точках, чтобы узнать, является ли точка максимумом, минимумом.

Найдём первую производную функции f(x) = 3x^3 - 9x^2 - 6: f'(x) = d(3x^3 - 9x^2 - 6)/dx = 9x^2 - 18x

Решаем уравнение f'(x) = 0: 9x^2 - 18x = 0 x(9x - 18) = 0

Из этого уравнения следует, что x = 0 или x = 2. Это критические точки функции.

Найдём вторую производную функции f(x): f''(x) = d(9x^2 - 18x)/dx = 18x - 18

Теперь проверим знак второй производной в критических точках:

f''(0) = -18 < 0, что указывает на то, что функция имеет максимум в точке x = 0.

f''(2) = 18 > 0, что указывает на то, что функция имеет минимум в точке x = 2.

Теперь найдём значения функции в точках максимума и минимума:

f(0) = 3(0)^3 - 9(0)^2 - 6 = -6

f(2) = 3(2)^3 - 9(2)^2 - 6 = -6

Функция f(x) имеет локальный максимум в точке (0, -6) и локальный минимум в точке (2, -6).