Докажите, что существует 1000 различных натуральных чисел таких, что при любом разбиении этих чисел на два непустых множества, сумма чисел одного из них будет делиться на сумму чисел другого множества.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного утверждения построим 1000 различных натуральных чисел, удовлетворяющих условию задачи.

Рассмотрим первые 1000 натуральных чисел:
1, 2, 3, ..., 1000

Сумма всех этих чисел равна S = 1000 * 1001 / 2 = 500500.

Теперь заметим, что числа можно разбить на два равных по 500 чисел в сумме 500500 / 2 = 250250. Таким образом, сумма чисел в каждом из двух множеств равна 250250, что делит сумму всех чисел пополам.

Таким образом, мы построили 1000 натуральных чисел, которые удовлетворяют условию задачи.