АЛГЕБРА = Задача на производную Какую высоту должен иметь конус объемом п/3, чтобы площадь боковой поверхности была минимальной?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи на найдем производную площади боковой поверхности конуса по отношению к его высоте.

Обозначим высоту конуса как h, радиус основания как r, площадь боковой поверхности как S.

Объем конуса V = 1/3 П r^2 h
Боковая поверхность конуса S = П r * l
Где l - образующая конуса, которую можно найти с помощью теоремы Пифагора: l = √(r^2 + h^2)

Теперь найдем производную площади боковой поверхности по высоте конуса h:
dS/dh = d(П r l)/dh = П r d√(r^2 + h^2)/dh
dS/dh = П r (1/2) (r^2 + h^2)^(-1/2) d(r^2 + h^2)/dh
dS/dh = 2П r (r^2 + h^2)^(-1/2) * h

Теперь найдем точку экстремума, приравнивая производную к нулю:
2П r (r^2 + h^2)^(-1/2) * h = 0
h = 0

Из этого следует, что для минимальной площади боковой поверхности высота конуса должна быть равна нулю. Однако, так как высота не может быть равна нулю, то это значит, что за минимальное значение площади боковой поверхности можно принять просто высоту конуса равную нулю.