Задачки по геометрии Две касающиеся внешним образом в точке L окружности, радиусы которых равны 11 и 33, вписаны в угол с вершиной С. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку L, пересекает стороны угла в точках А и В. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС.Прямая BM, перпендикулярная медиане CK треугольника BCD, делит угол B пополам. Найти сторону BC, если BD = 10.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим точки касания окружностей с точками L, M, N. Пусть точка L - это вершина треугольника АВС, а точки M и N - точки касания с окружностями. Поскольку AL и BL - касательные к окружности с радиусами 11 и 33 соответственно, то AL = 11, BL = 33. Трапеция ALBN - прямоугольная (как и любая трапеция с углами у оснований 90 градусов), следовательно,
AB^2 + LN^2 = AL^2 + BN^2 => AB^2 = LN^2 + (AL + BN)^2 = LN^2 + (33 + 11)^2 = LN^2 + 1600.
Также, AL = IL = 11, BL = JN = 33. Следовательно, LK = IL + KI = 11 + r, LJ = JN + JI = 33 + r. Так как LK и LJ - касательные к описанной около треугольника АВС окружности, то
LK^2 = LA x LB = 11 x 33, LJ^2 = LA x LC = 11 x (11 + 2r) => 11^2 + r^2 + 2 x 11r = 33^2 + r^2 + 2r(11 + r) => 121 + 22r = 1089 + 11r + r^2,
откуда r = 533. Следовательно, радиус описанной окружности равен 533.Точка M - середина BC, BM = MC. Так как угол BKM = угол MKC = угол BCD/2, то треугольник BKM равнобедренный, KB = BM = 10. Треугольник BCK равносторонний, поэтому BK = BC. Таким образом, BK = 10, BC = BK = 10.