Задача по геометрии. Ответ должен быть без корней. Все боковые рёбра треугольной пирамиды SABC равны 21. Найди площадь наибольшей боковой грани пирамиды, если её высота равна 9, а в основании пирамиды лежит треугольник ABC со сторонами 40, 24 и 32.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем площадь боковой грани треугольной пирамиды. По теореме Пифагора найдем высоту боковой грани
c^2 = a^2 + h^2
где c - гипотенуза основания треугольника ABC (40)
a = 21 - половина боковой грани треугольной пирамиды
h - высота боковой грани треугольной пирамиды (9).

Подставляем известные значения
40^2 = (21 + a)^2 + 9^2
1600 = 441 + 42a + a^2 + 81
a^2 + 42a - 1078 = 0.

Решаем квадратное уравнение
a = (-42 ± √(42^2 + 4*1078))/2 = (-42 ± √(1764 + 4312))/2 = (-42 ± √6076)/2 = (-42 ± 78)/2.

Так как длина стороны боковой грани не может быть отрицательной, то a = (78 - 42)/2 = 18.

Теперь найдем площадь боковой грани двумя способами:

S = 0.5 c a = 0.5 40 18 = 360.

S = √((a^2 + h^2)^2 - (h 32)^2) = √((18^2 + 9^2)^2 - 9^2 32^2) = √(333^2 - 9^2 * 1024) = √(110889 - 9216) = √101673 = 319.

Ответ: наибольшая площадь боковой грани пирамиды равна 319.