Для решения этого дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, можно использовать метод вариации постоянных.

Дано уравнение: y'' + y' - 2y = 5sin(2x)

Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения: y'' + y' - 2y = 0

Характеристическое уравнение такого уравнения будет иметь вид: r^2 + r - 2 = 0

(r + 2)(r - 1) = 0

r1 = -2, r2 = 1

Таким образом, общее решение однородного уравнения будет иметь вид: yh = C1 e^(-2x) + C2 e^x

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения методом неопределенных коэффициентов. Поскольку правая часть уравнения содержит sin(2x), будем искать частное решение в виде: yp = Asin(2x) + Bcos(2x)

Подставляя yp в исходное уравнение, найдем значения коэффициентов A и B.

yp' = 2Acos(2x) - 2Bsin(2x)
yp'' = -4Asin(2x) - 4Bcos(2x)

Подставим yp, yp' и yp'' в исходное уравнение:

-4Asin(2x) - 4Bcos(2x) + 2Acos(2x) - 2Bsin(2x) - 2(Asin(2x) + Bcos(2x)) = 5sin(2x)

(2A - 2B - 2A) cos(2x) + (-2B - 2B - 4A) sin(2x) = 5sin(2x)

-4A = 5, -4B = 0

A = -5/4, B = 0

Итак, найденное частное решение неоднородного уравнения: yp = -5/4sin(2x)

Таким образом, общее решение неоднородного уравнения будет иметь вид: y = yh + yp = C1 e^(-2x) + C2 e^x - 5/4sin(2x)