Показать, что при увеличении значения признака у всех единиц совокупности в 3 раза, дисперсия признака увеличится в 9 раз, а коэффициент вариации не изменится.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть у нас есть признак X совокупности размером N, и его дисперсия равна Var(X).

Если увеличить значение признака у всех единиц совокупности в 3 раза, то новый признак Y будет равен 3X. Для Y дисперсия будет равна Var(Y) = Var(3X) = 9Var(X), так как дисперсия умноженной на константу случайной величины равна квадрату этой константы умноженной на исходную дисперсию.

Коэффициент вариации (коэффициент стандартного отклонения) для признака X вычисляется по формуле CV(X) = σ(X) / E(X), где σ(X) - стандартное отклонение признака X, а E(X) - математическое ожидание признака X.

Таким образом, если увеличить значение признака у всех единиц совокупности в 3 раза, стандартное отклонение для нового признака Y будет равно 3σ(X), а математическое ожидание E(Y) будет равно 3E(X). Таким образом, коэффициент вариации для признака Y будет равен: CV(Y) = 3σ(X) / 3E(X) = σ(X) / E(X) = CV(X).

Итак, при увеличении значения признака у всех единиц совокупности в 3 раза, дисперсия признака увеличится в 9 раз, а коэффициент вариации останется неизменным.