Линейная алгебра и Функции Нескольких Переменных Найдите условные экстремумы функции z=x^2y при условии 2 x + y = 1.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения условных экстремумов функции z(x, y) = x^2y при условии 2x + y = 1 воспользуемся методом множителей Лагранжа.

Составим функцию Лагранжа L(x, y, λ):
L(x, y, λ) = x^2y + λ(2x + y - 1).

Найдем частные производные функции L по переменным x, y и λ и приравняем их к нулю:
∂L/∂x = 2xy + 2λ = 0,
∂L/∂y = x^2 + λ = 0,
∂L/∂λ = 2x + y - 1 = 0.

Из первого уравнения получаем уравнение x = -λ/y. Подставим это во второе уравнение:
(-λ/y)^2 + λ = 0.
λ^2 = y^3.

Подставим значение λ в третье уравнение:
2(-λ/y) + y = 1,
-2λ + y^2 = 0.

Из уравнения λ^2 = y^3 находим два возможных решения:
1) λ = y^(3/2),
2) λ = -y^(3/2).

Подставим найденные значения λ в уравнение -2λ + y^2 = 0:
1) -2y^(3/2) + y^2 = 0,
2) 2y^(3/2) + y^2 = 0.

Первое уравнение дает решение y = 0, что не удовлетворяет условию 2x + y = 1. Поэтому рассмотрим второе уравнение:
2y^(3/2) + y^2 = 0,
y^2(2y^(1/2) + y) = 0,
y^2(y + 2√y) = 0,
y(y + 2√y) = 0.

Отсюда получаем два решения: y = 0 и y = -4. Подставим найденные значения y в условие 2x + y = 1:
1) 2x = 1, x = 1/2 => (1/2, 0),
2) 2x = 5, x = 5/2 => (5/2, -4).

Таким образом, условные экстремумы функции z(x, y) = x^2y при условии 2x + y = 1 равны:
1) (1/2, 0),
2) (5/2, -4).