ABCDA1B1C1D1 — прямоугольный параллелепипед со сторонами AA1=1, AB=2, AD=3. Найти расстояние от точки A до пл. A1C1D.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Сначала найдем векторное произведение векторов AC и AD:

AC = C - A = (2, 1, 1) - (0, 0, 0) = (2, 1, 1)
AD = D - A = (3, 0, 1) - (0, 0, 0) = (3, 0, 1)

AC x AD = (11 - 00; 02 - 11; 03 - 21) = (1, -1, -2)

Нормаль к плоскости A1C1D направлена векторно произведению AC и AD, поэтому уравнение плоскости может быть записано в виде:

(x-a)(1) + (y-b)(-1) + (z-c)(-2) = 0
где a, b, c - координаты точки A

Переместим точку A в начало координат (0, 0, 0) для удобства:

x - 0 - (1) + y - 0 + (-1) + z - 0 + (-2) = 0
x - y - 2z - 3 = 0

Расстояние от точки до плоскости равно модулю скалярного произведения вектора нормали к плоскости и вектора, соединяющего точку и любую точку на плоскости:

d = |AC1 * n| / |n|
где AC1 - вектор, соединяющий произвольную точку C1 на плоскости и точку A, n - вектор нормали к плоскости A1C1D

AC1 = C1 - A = (1, 2, 3) - (0, 0, 0) = (1, 2, 3)
n = (1, -1, -2)

|n| = sqrt(1^2 + (-1)^2 + (-2)^2) = sqrt(1 + 1 + 4) = sqrt(6)
|AC1| = sqrt(1^2 + 2^2 + 3^2) = sqrt(1 + 4 + 9) = sqrt(14)

d = |AC1 n| / |n| = |(11 + 2(-1) + 3(-2))| / sqrt(6) = 7 / sqrt(6)

Таким образом, расстояние от точки A до плоскости A1C1D равно 7 / sqrt(6).