Найти косинус угла между медианами BM и CN треугольника ABC, если известно, что AB =AC, BC =8 и высота AH равна 6.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем длину медианы BM. Так как треугольник ABC равнобедренный (AB = AC), медиана BM также является высотой и делит сторону AC пополам. Таким образом, BM = AC/2 = AB/2.

Теперь найдем длину медианы CN. Поскольку CN также является высотой, то CN = AH = 6.

Теперь рассмотрим треугольник BMN, где MN - медиана, проходящая через точку пересечения медиан треугольника ABC. По теореме косинусов:
cos(угол BMN) = (BM^2 + CN^2 - MN^2) / (2 BM CN).

Так как треугольник BMN является прямоугольным, где угол MBN = 90 градусов, то MN^2 = BM^2 + CN^2.

Подставляем значения BM и CN:
BM = AB/2 = AC/2,
CN = AH = 6.

MN^2 = (AC/2)^2 + 6^2 = AC^2/4 + 36.

Теперь находим cos(угол BMN):
cos(угол BMN) = ((AC^2/4) + 6^2 - (AC^2/4 + 36)) / (2 AC 6) = (36 - 36) / (12AC) = 0.

Таким образом, косинус угла между медианами BM и CN треугольника ABC равен 0.