В треугольнике ABC медианы
пересекаются в точке M. Через точку
M проведена прямая В треугольнике ABC медианы
пересекаются в точке M. Через точку
M проведена прямая, параллельная
стороне BC и пересекающая
стороны AB и AC в точках D и E
соответственно. Найдите BC, если
DE = 6

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи нам понадобится использовать свойство медиан треугольника. Медиана треугольника делит сторону, к которой она проведена, в отношении 2:1.

Поскольку AM является медианой треугольника ABC, то BD = 2DM и CE = 2EM.

Так как DE параллельна BC, то треугольники BDE и CEM подобны друг другу. Таким образом можем записать:

(\frac{BD}{CE} = \frac{DM}{EM})

или

(\frac{2DM}{2EM} = \frac{DE}{CE})

(\frac{DM}{EM} = \frac{6}{2EM})

(\frac{MD}{ME} = \frac{3}{EM}) (1)

Поскольку ABC - треугольник, то из свойства медиан следует, что:

(\frac{AM}{MB} = \frac{2}{1})

Аналогично для треугольника ACE:

(\frac{AM}{MC} = \frac{2}{1})

Отсюда:

(\frac{AM - MD}{ME} = 2) и (AM - 3ME = 2ME)

(AM = 5ME) (2)

Из уравнения (2) следует, что AM > ME, но не больше 2AM, следовательно ME < (\frac{2}{3}AM)

Известно, что AM является медианой, поэтому ME < (\frac{2}{3}AM) < \frac{2}{3} (\frac{3}{2}\frac{BC}{2}= \frac{BC}{2}) (т.к. медиана разбивает сторону напополам)

\n Итак, ME < \frac{BC}{2}

DE = 6
DM = ME + DE = 6 + ME
ME < \frac{BC}{2}
DM < \frac{BC}{2}+DE
6 + ME < \frac{BC}{2} + 6
ME < \frac{BC}{2}
ME = \frac{BC}{2}
(\frac{BC}{2} < \frac{BC}{2})

Из этого следует, что медиана и сторона CE имеют одинаковое значение, поэтому CE = 2*(BC/2) = BC

Таким образом, длина стороны BC равна 6.