Контрольная по математике Приветствую! Найти наименьшее и наибольшее значения функции z = f (x; y) в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Функция: z = x^2 + 2y^2 + 1. Область: x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 3. Решить и сделай чертеж. Буду очень благодарен!

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем стационарные точки функции z = x^2 + 2y^2 + 1, где x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 3.

Для этого найдем частные производные по x и y и приравняем их к нулю:

∂z/∂x = 2x = 0
∂z/∂y = 4y = 0

Отсюда получаем стационарную точку (0,0).

Теперь найдем значения функции в угловых точках области D:
1) При (x=0, y=0): z = 1
2) При (x=0, y=3): z = 19
3) При (x=3, y=0): z = 10

Таким образом, наименьшее значение функции z равно 1 и достигается в точке (0,0), а наибольшее значение функции z равно 19 и достигается в точке (0,3).

Ниже приведен чертеж области D:

_________________
| |
| D |
| / \ |
| / \ |
| / \ |
| / \ |
| / \ |
| / \ |
|/_____________\___|
(0,0) (3,0)