В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, все ребра которой равны 1. Найдите косинус угла между прямыми АD1 и CE1, где D1 и Е1 - соответственно середины ребер А1С1 и В1А1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим через O точку пересечения прямых CE1 и AD1. Так как точки D1 и E1 — середины сторон, то треугольник A1D1E1 — равнобедренный. Значит, AD1 = A1D1 = 1/2. Тогда OD1 = 1/4, OE1 = 1/4.

Треугольники OAD1 и OCE1 подобны, поскольку \angle OAD1 = \angle OCE1 = 90^{\circ} (поскольку AD1 и CE1 — высоты в треугольниках ABC и A1B1C1 соответственно), \angle AD1O = \angle CE1O (они равны, так как O лежит на A1D1 и E1C1 — серединных перпендикулярах к сторонам треугольника ABC), и, наконец, треугольники подобны по общей стороне AO.

Тогда

\frac{AD1}{AE1} = \frac{OD1}{OE1},

\frac{1/2}{OE1} = \frac{1/4}{OE1},

1 = 1/2,

что невозможно. Значит, прямые AD1 и CE1 пересекаются под углом 90°, и косинус угла между ними равен 0.