Вычислить поток векторного поля a, через внешнюю поверхность пирамиды, образованную пл. P и координатными плоскостями a=(3x+y) * i + (x+z) * j + y * k
Плоскость P: x+2y+z=2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала выразим координаты точек на плоскости P через параметры t и s:
x = 2 - 2t
y = t
z = t

Теперь найдем вектор нормали к плоскости P:
n = <1, 2, 1>

Вычислим дифференциал поверхностного интеграла потока векторного поля a через внешнюю поверхность пирамиды:

∬_S a n dS = ∬_D a r_t x r_s dA

где r_t = ∂r/∂t - радиус-вектор, соответствующий параметру t
и r_s = ∂r/∂s - радиус-вектор, соответствующий параметру s

a = (3x + y)i + (x + z)j + yk
a = (3(2-2t) + t)i + ((2-2t) + t)j + tk

Теперь вычислим векторное произведение для нахождения вектора нормали к поверхности:

r_t = <-2, 1, 1>
r_s = <0, 1, 1>
n = r_t x r_s = <-1, -2, 1>

Теперь вычислим скалярное произведение и получим

∫∫_D a n dA = ∬_D (n a) dA
∬_D (n * a) dA = ∫∫_D 13dA

Теперь осталось вычислить двойной интеграл по области D:

∫∫_D 13 dA = 13 Area(D) = 13 (√2)^2 = 26

Таким образом, поток векторного поля a через внешнюю поверхность пирамиды равен 26.