Применяя методы интегрирования,найти следующие интеграллы: 1)f 1-2x/3x+1 dx;
2)f(x^3/3+3/x^2-cos x) dx;
3)f(9-2x^3)^4•x^2 dx;
4)f x•cos(x^2-1) dx;
5)f(3x+2)•e^2x dx;
6)f(1-6x)•sin3x dx;

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Интеграл от функции f(x) = (1-2x)/(3x+1) dx:

f(x) = (1-2x)/(3x+1) = (1-2x)/(3x+1)
f(x) = (1-2x)/(3x+1) = (1-2x)/(3x+1)
f(x) = (1-2x)/(3x+1) = (1-2x)/(3x+1)
Интегрируем по частям, используя формулу интегрирования произведения двух функций:

∫u dv = uv - ∫v du,

где u и v - функции от x.

Выберем u = (1-2x) и dv = dx, тогда du = -2dx и v = x.

∫ (1-2x)/(3x+1) dx = ∫ (1-2x)(1/3) dx - 2∫ x/(3x+1) dx.

Первый интеграл просто находится:

∫ (1-2x)(1/3) dx = (1/3)x - (1/3)x^2.

Для второго интеграла применим подстановку u = 3x+1, тогда du = 3dx, откуда dx = du/3:

2∫ x/(3x+1) dx = ∫ (1/3)u du = (1/3)u^2/2 = (1/6)(3x+1)^2.

Теперь можем вычислить исходный интеграл:

∫ (1-2x)/(3x+1) dx = (1/3)x - (1/3)x^2 - 1/6(3x+1)^2 + C,

где C - произвольная постоянная.

2) Интеграл от функции f(x) = x^3/3 + 3/x^2 - cos(x) dx:

∫ x^3/3 + 3/x^2 - cos(x) dx = ∫ x^3/3 dx + ∫ 3/x^2 dx - ∫ cos(x) dx.

Первый интеграл x^3/3 dx = x^4/12.

Второй интеграл 3/x^2 dx = 3∫ x^(-2) dx = -3/x.

Третий интеграл ∫ cos(x) dx = sin(x).

Теперь подставляем результаты обратно в исходный интеграл:

∫ x^3/3 + 3/x^2 - cos(x) dx = x^4/12 - 3/x + sin(x) + C,

где C - произвольная постоянная.

3) Интеграл от функции f(x) = (9-2x^3)^4*x^2 dx:

∫ (9-2x^3)^4x^2 dx = ∫ (81 - 72x^3 + 16x^6)x^2 dx.

Упрощаем выражение:

∫ (81 - 72x^3 + 16x^6)*x^2 dx = ∫ 81x^2 - 72x^5 + 16x^8 dx.

Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:

∫ 81x^2 dx = 81x^3/3 = 27x^3,
∫ -72x^5 dx = -72x^6/6 = -12x^6,
∫ 16x^8 dx = 16x^9/9 = 16/9x^9.

Теперь собираем все части вместе:

∫ (9-2x^3)^4x^2 dx = 27x^3 - 12x^6 + 16/9x^9 + C,

где C - произвольная постоянная.

4) Интеграл от функции f(x) = x*cos(x^2 - 1) dx:

Для решения данного интеграла проведем замену переменной: t = x^2 - 1, dt = 2x dx.

Тогда интеграл примет вид:

(1/2) ∫ cos(t) dt,

Интеграл ∫ cos(t) dt = sin(t) + C, где C - постоянная.

Подставим обратно переменную t:

(1/2) ∫ cos(x^2 - 1) dt = (1/2) sin(x^2 - 1) + C.

5) Интеграл от функции f(x) = (3x+2)*e^(2x) dx:

Для его решения воспользуемся методом интегрирования по частям:

∫ (3x+2)e^(2x) dx = (3x+2)(1/2)e^(2x) - ∫ 3e^(2x) dx,

(3x+2)(1/2)e^(2x) = (3/2)x*e^(2x) + e^(2x),

∫ 3e^(2x) dx = 3(1/2)e^(2x) = (3/2)e^(2x).

Теперь подставим результаты в исходный интеграл:

∫ (3x+2)e^(2x) dx = (3/2)xe^(2x) + e^(2x) - (3/2)e^(2x) + C,

где C - произвольная постоянная.

6) Интеграл от функции f(x) = (1-6x)sin(3x) dx:

Используем интегрирование по частям:

∫ (1-6x)sin(3x) dx = -cos(3x) + 6∫ xcos(3x) dx.

Для интеграла ∫ xcos(3x) dx проведем интегрирование по частям еще раз:

∫ xcos(3x) dx = x(1/3)sin(3x) - ∫ (1/3)sin(3x) dx,

x(1/3)sin(3x) = x(1/3)sin(3x) - (1/3)∫ sin(3x) dx = x(1/3)sin(3x) + (1/9)cos(3x).

Теперь подставляем результаты обратно в исходный интеграл:

∫ (1-6x)sin(3x) dx = -cos(3x) + 6(x(1/3)sin(3x) + (1/9)cos(3x)) + C,

где C - произвольная постоянная.