В четырёхугольнике два угла прямые. Биссектрисы его углов в пересечении образуют четырёхугольник. Докажите, что его диагонали перпендикулярны.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала обозначим точки пересечения биссектрис диагоналями четырёхугольника как точки E и F (см. рисунок).

Так как в четырёхугольнике ABCD два угла прямые, то третий и четвёртый углы тоже прямые. Таким образом, сумма углов в четырёхугольнике равна 360 градусов.

Теперь обратимся к четырёхугольнику с пересекающимися биссектрисами AC и BD. Поскольку углы CAD и CBA, а также углы ADB и DBC являются смежными углами, их сумма равна 180 градусов. Значит, угол ACE равен углу ECB, а угол ADF равен углу DFB.

Также угол ACE равен углу ACF, так как CE является биссектрисой угла ACB. Аналогично, угол ADF равен углу BDF.

Следовательно, треугольники ACF и BCF, а также треугольники ADF и BDF, равны по двум углам и общему катету. Следовательно, они равнобедренные.

Так как треугольники ACF и BCF равнобедренные, то AC=BC. Аналогично, из равнобедренности треугольников ADF и BDF следует AD=BD.

Из равенства AE=CE и AF=DF (по построению пересечения биссектрис) и равенства углов ACE и ACF (по построению биссектрис) следует, что треугольники AEC и AFC равны, значит, EC=CF.

Таким образом, AC=BC и AE=CE, следовательно, треугольники AEC и BEC равновелики.

Треугольник AFC равнобедренный, поэтому AF=CF. Также треугольники AFC и BFC равны по двум сторонам и углу, значит, треугольники AFC и BFC равновелики.

Из равенства BEC и AFC следует, что EF параллельно BC по параметрическому признаку равенства равновеликих треугольников.

Из равенства EF=FC и EB=FB следует, что треугольнки EFB и CFB равновелики.

В результате BCF и EFB равновелики, так что углы FBD и FBE равны. Из равенства углов EFB и FBD следует, что лучи BF и BE совпадают. Из равенства лучей BF и BE следует, что BF перпендикулярен к диагонали BD.

Проведем аналогичное доказательство для второй диагонали AC. Оно основывается на тех же принципах.

Таким образом, диагонали перпендикулярны.