Исследование графика функции y=1/3x^3-2x^2
Найти:
1) Область определения, непрерывность, четность/нечётность, периодичность функции.
2) Асимптоты графика функции.
3) Нули функции, интервалы знакопостоянства.
4) Возрастание, убывание и экстремумы функции.
5) Выпуклость, вогнутость и перегибы графика.
6) Дополнительные точки и график по результатам исследования.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1)

Область определения: функция определена для всех действительных чисел.Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.Четность/нечетность: функция не является ни четной, ни нечетной.Периодичность: функция не является периодической.

2)

Асимптоты: горизонтальная асимптота y = -∞, так как при x → ±∞ функция стремится к -∞.

3)

Нули функции: чтобы найти нули функции, необходимо решить уравнение 1/3x^3 - 2x^2 = 0. Решив это уравнение, получим x = 0 и x = 6.Интервалы знакопостоянства: функция положительна на интервалах (-∞, 0) и (6, +∞), отрицательна на интервале (0, 6).

4)

Возрастание: функция возрастает на интервалах (-∞, 0) и (6, +∞).Убывание: функция убывает на интервале (0, 6).Экстремумы: функция имеет локальный максимум в точке (0, 0) и локальный минимум в точке (6, -72).

5)

Выпуклость: функция выпукла вверх на интервалах (-∞, 0) и (6, +∞).Вогнутость: функция вогнута вниз на интервале (0, 6).Перегибы: функция имеет точку перегиба в точке (2, -8).

6)

Дополнительные точки: можно также отметить точку пересечения с осью ординат в точке (0, 0).График функции на основе проведенного исследования будет иметь форму, напоминающую букву "W", с локальными экстремумами в точках (0, 0) и (6, -72), а также точкой перегиба в точке (2, -8).