Элементы аналитической геометрии. Алгебра и геометрия Даны координаты точек A(6,1,1),B(4,6,6),C(4,2,0),D(1,2,6)
-синус угла между ребром AC и плоскостью грани BCD (AC,BCDˆ)
с точностью до трех знаков после запятой
- косинус угла между скрещивающимися прямыми AC и BD (AC,BDˆ)
с точностью до трех знаков после запятой
-косинус угла между гранями ABC и BCD (ABC,BCDˆ)
с точностью до трех знаков после запятой

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения этих углов нам сначала нужно найти векторы ребер и нормали к плоскостям граней.

Вектор ребра AC:
( \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 4-6 \ 2-1 \ 0-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \ 1 \ -1 \end{pmatrix} )

Нормаль к плоскости BCD:
для плоскости BCD нормаль можно найти как векторное произведение векторов BC и BD.

Вектор BC:
( \overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} 4-4 \ 2-6 \ 0-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ -4 \ -6 \end{pmatrix} )

Вектор BD:
( \overrightarrow{BD} = \begin{pmatrix} 1-4 \ 2-2 \ 6-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \ 0 \ 6 \end{pmatrix} )

Нормаль к плоскости BCD:
( \overrightarrow{n_{BCD}} = \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BD} = \begin{pmatrix} 24 \ 0 \ 12 \end{pmatrix} )

Синус угла между ребром AC и плоскостью грани BCD:
Синус угла между векторами определяется как длина векторного произведения векторов, деленная на произведение длин векторов.
[ \sin(\angle AC,BCD) = \frac{| \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{n{BCD}} |}{| \overrightarrow{AC} | \times | \overrightarrow{n{BCD}} |} ]

Подставим значения в формулу и рассчитаем:

[ \sin(\angle AC,BCD) = \frac{| \begin{pmatrix} -2 \ 1 \ -1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 24 \ 0 \ 12 \end{pmatrix} |}{\sqrt{6} \times \sqrt{600}} ]
[ \sin(\angle AC,BCD) = \frac{| \begin{pmatrix} 12 \ -12 \ 24 \end{pmatrix} |}{\sqrt{6} \times \sqrt{600}} = \frac{\sqrt{12^2 + (-12)^2 + 24^2}}{\sqrt{6} \times \sqrt{600}}]
[ \sin(\angle AC,BCD) = \frac{\sqrt{144 + 144 + 576}}{\sqrt{6} \times \sqrt{600}} = \frac{\sqrt{864}}{\sqrt{3600}} = \frac{24}{60} = 0.4 ]

Ответ: (\sin(\angle AC,BCD) = 0.4)

Косинус угла между скрещивающимися прямыми AC и BD:
Косинус угла между прямыми равен скалярному произведению нормированных векторов.
[ \cos(\angle AC,BD) = \frac{\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD}}{| \overrightarrow{AC} | \times | \overrightarrow{BD} |} ]

Вычислим и подставим значения:
[ \cos(\angle AC,BD) = \frac{\begin{pmatrix} -2 \ 1 \ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -3 \ 0 \ 6 \end{pmatrix}}{\sqrt{6} \times \sqrt{45}} ]
[ \cos(\angle AC,BD) = \frac{-6 + 0 - 6}{\sqrt{6} \times \sqrt{45}} = \frac{-12}{\sqrt{6} \times \sqrt{45}} = \frac{-12}{\sqrt{270}} = \frac{-12}{3\sqrt{30}} = -\frac{4}{\sqrt{30}} \approx -0.730 ]

Ответ: (\cos(\angle AC,BD) \approx -0.730)

Косинус угла между гранями ABC и BCD:
Косинус угла между двумя плоскостями равен модулю скалярного произведения их нормалей, деленному на произведение длин нормалей.
[ \cos(\angle ABC,BCD) = \frac{|\overrightarrow{n{ABC}} \cdot \overrightarrow{n{BCD}}|}{| \overrightarrow{n{ABC}} | \times | \overrightarrow{n{BCD}} |} ]

Найдем нормаль к плоскости ABC:
для плоскости ABC нормаль можно найти как векторное произведение векторов AB и AC.
[ \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4-6 \ 6-1 \ 6-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \ 5 \ 5 \end{pmatrix} ]

Нормаль к плоскости ABC:
[ \overrightarrow{n_{ABC}} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 5 \ 20 \ -17 \end{pmatrix} ]

Вычислим косинус угла между гранями и рассчитаем:
[ \cos(\angle ABC,BCD) = \frac{|\overrightarrow{n{ABC}} \cdot \overrightarrow{n{BCD}}|}{\sqrt{570} \times \sqrt{600}} ]
[ \cos(\angle ABC,BCD) = \frac{| \begin{pmatrix} 5 \ 20 \ -17 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 24 \ 0 \ 12 \end{pmatrix}|}{\sqrt{570} \times \sqrt{600}} ]
[ \cos(\angle ABC,BCD) = \frac{| 120 - 340|}{\sqrt{570} \times \sqrt{600}} = \frac{|-220|}{\sqrt{570} \times \sqrt{600}} = \frac{220}{\sqrt{342000}} = \frac{220}{600\sqrt{57}} = \frac{110}{300\sqrt{57}} = \frac{11}{30\sqrt{57}} \approx 0.114 ]

Ответ: (\cos(\angle ABC,BCD) \approx 0.114)