Задача по геометрии
На диагонали AC квадрата ABCD выбрана точка E так, что AE=CE+DE. Найдите угол CDE.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть сторона квадрата равна a.
Так как AE=CE+DE, то AE=CE+(CD-DE), то есть AE=CE+CD-DE.
Таким образом, AE=CE+CD-DE.
Так как AE=CE+CD-DE и AE=√2a (по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ADE), то имеем:
√2a = CE + CD - DE.
Так как CE+CD=a (так как CE и CD - это стороны квадрата, сумма которых равна a), то заменяем CE+CD=a:
√2a = a - DE,
то есть DE = a(√2-1).
Теперь, чтобы найти угол CDE, необходимо использовать теорему косинусов для треугольника DEC:
cos(CDE) = (DE^2 + DC^2 - CE^2) / (2DECD)
cos(CDE) = (a^2(√2-1)^2 + a^2 - a^2) / (2a(√2-1)a)
cos(CDE) = (a^2(2-2√2+1) + a^2 - a^2) / (2a(√2-1)a)
cos(CDE) = (a^2(3-2√2) / (2a(√2-1)
cos(CDE) = 3-2√2 / (2(√2-1))
cos(CDE) = (3-2√2) / 2(√2-1)
cos(CDE) = ((3-2√2) / 2(√2-1)) ((2+√2) / (2+√2))
cos(CDE) = (6+3√2-4-2√2) / (4-1)
cos(CDE) = (2+√2) / 3
cos(CDE) = (2+√2) / 3
cos(CDE) = ((2+√2) / 3) * ((2-√2) / (2-√2))
cos(CDE) = (4-2) / 9
cos(CDE) = 2 / 9
CDE = arccos(2 / 9)

Таким образом, угол CDE равен arccos(2 / 9) ≈ 75.5 градусов.