Задача по геометрии Площадь прямоугольного треугольника равна 60, а радиус вписанной окружности равен 3. Найдите гипотенузу треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Площадь прямоугольного треугольника равна 60, поэтому

( \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} = 60 )

Пусть основание треугольника равно (a), а высота равна (b), тогда

( \frac{1}{2} \times a \times b = 60 )

( a \times b = 120 )

Так как радиус вписанной окружности равен 3, то радиус окружности вписанной в прямоугольный треугольник равен половине высоты треугольника, то есть ( r = \frac{b}{2} ), откуда ( b = 2r ). Подставим это в уравнение:

( a \times 2r = 120 )

( a = \frac{120}{2r} )

Так как гипотенуза равна ( c = \sqrt{a^2 + b^2} ), то

( c = \sqrt{\left(\frac{120}{2r}\right)^2 + (2r)^2} )

( c = \sqrt{\frac{14400}{4r^2} + 4r^2} )

( c = \sqrt{\frac{14400 + 16r^4}{4r^2}} )

( c = \sqrt{\frac{14400 + 16r^4}{4r^2}} = \sqrt{\frac{14400 + 16 \times 3^4}{4 \times 3^2}} = \sqrt{\frac{14400 + 16 \times 81}{4 \times 9}} = \sqrt{\frac{14400 + 1296}{36}} = \sqrt{\frac{15696}{36}} = \sqrt{436} = 2\sqrt{109} )

Итак, гипотенуза треугольника равна ( 2\sqrt{109} ).