Зависимость величины x
x`4−2x`3−4x`2+(10−a)x=a`2−6a+ax+5.
Зависимость величины x
ускорения гиперзвуковой ракеты от количества a
присадки к топливу описывается уравнением


x`4−2x`3−4x`2+(10−a)x=a`2−6a+ax+5.

Вычислить количество всех целочисленных значений параметра a
, при которых это уравнение имеет ровно три корня.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы уравнение имело ровно три корня, необходимо и достаточно, чтобы его график имел два поворота в разных направлениях. Это возможно, если коэффициент при x^4 отличен от нуля.

Рассмотрим уравнение в общем виде:
x^4 - 2x^3 - 4x^2 + (10 - a)x = a^2 - 6a + ax + 5

Пусть x = 0, тогда a = 0. Подставим x = 0 в уравнение и решим его относительно a:
0 = a^2 - 6a + 5
a^2 - 6a + 5 = 0
(a - 1)(a - 5) = 0
a = 1 или a = 5

Подставим a = 1 и a = 5 в уравнение и посмотрим, сколько корней оно имеет:
При a = 1: x^4 - 2x^3 - 4x^2 + 9x = 0
x(x^3 - 2x^2 - 4x + 9) = 0
x(x - 3)(x^2 + x - 3) = 0
x = 0, x = 3, x ≈ -1.62, x ≈ 1.62

При a = 5: x^4 - 2x^3 - 4x^2 + 5x = 25 - 30 + 5x + 5
x^4 - 2x^3 - 4x^2 - 5x + 5 = 0

Таким образом, уравнение имеет 3 корня только при a = 1. Следовательно, количество целочисленных значений параметра a, при которых уравнение имеет ровно три корня, равно 1.