Зачем в определении мультипликативной функции требование f(1) = 1? Если от этого требования отказаться, добавится еще одна, тождественный ноль. И это будет чем-то мешать.
Я долго репу чесал, чем же это помешает, выдумал одну причину, но она мне кажется несколько притянутой за уши. Причина такова:
Откажемся от этого требования. Пусть
f1(n) - тождественный ноль
f2(n) = 0 при n != 1, f2(1) = 1.
Обе функции по нашему новому определению мультипликативны.
Рассмотрим мультипликативную функцию как гомоморфизм полугрупп, действующий в мультипликативную полугруппу C (с нулем), область определения которого - свободная абелева полугруппа с системой образующих из натуральных степеней простых чисел.
Тогда функциям f1 и f2 соответствует один и тот же гомоморфизм, ломается естественная биекция между множеством мультипликативных функций и множеством указанных гомоморфизмов.
Есть ли еще причины, почему в определении положили f(1) = 1?
Зачем в определении мультипликативной функции требование f(1) = 1? Если от этого требования отказаться, добавится еще одна, тождественный ноль. И это будет чем-то мешать.
Я долго репу чесал, чем же это помешает, выдумал одну причину, но она мне кажется несколько притянутой за уши. Причина такова:
Откажемся от этого требования. Пусть
f1(n) - тождественный ноль
f2(n) = 0 при n != 1, f2(1) = 1.
Обе функции по нашему новому определению мультипликативны.
Рассмотрим мультипликативную функцию как гомоморфизм полугрупп, действующий в мультипликативную полугруппу C (с нулем), область определения которого - свободная абелева полугруппа с системой образующих из натуральных степеней простых чисел.
Тогда функциям f1 и f2 соответствует один и тот же гомоморфизм, ломается естественная биекция между множеством мультипликативных функций и множеством указанных гомоморфизмов.
Есть ли еще причины, почему в определении положили f(1) = 1?
Я долго репу чесал, чем же это помешает, выдумал одну причину, но она мне кажется несколько притянутой за уши. Причина такова:
Откажемся от этого требования. Пусть
f1(n) - тождественный ноль
f2(n) = 0 при n != 1, f2(1) = 1.
Обе функции по нашему новому определению мультипликативны.
Рассмотрим мультипликативную функцию как гомоморфизм полугрупп, действующий в мультипликативную полугруппу C (с нулем), область определения которого - свободная абелева полугруппа с системой образующих из натуральных степеней простых чисел.
Тогда функциям f1 и f2 соответствует один и тот же гомоморфизм, ломается естественная биекция между множеством мультипликативных функций и множеством указанных гомоморфизмов.
Есть ли еще причины, почему в определении положили f(1) = 1?
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Интересные статьи из справочника
Поможем написать учебную работу
Отвечай на вопросы, зарабатывай баллы и трать их на призы.
Подробнее
Подробнее
Да, есть и другие причины. Одна из основных причин заключается в том, что требование f(1) = 1 делает определение мультипликативной функции более естественным и удобным для работы с числами.
Когда мы работаем с мультипликативными функциями, мы часто выполняем операции с функциями, умножаем их, складываем их значения и так далее. Если бы у нас не было требования f(1) = 1, то при выполнении этих операций возникали бы дополнительные сложности и неудобства, связанные с наличием "нулевой" функции. Это усложнило бы работу и усложнило бы аксиоматику теории мультипликативных функций.
Таким образом, требование f(1) = 1 делает определение мультипликативной функции более удобным и естественным для работы с числами и облегчает математические рассуждения и доказательства, связанные с этими функциями.