Задача по стереометрии уровень бог. В прямоугольном параллелепипеде ABCDABCD (44 || BB, || CC || DD) AB=4, ВС=3, 44 =14. Через вершину 4 и точки М и N, лежащие на ребрах ВВ, и DD, соответственно, проведена плоскость. Известно, что MB, = 3, ND, =4.
а) Найдите угол между плоскостями ABC и AMN.
б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые плоскость 4MN делит параллелепипед.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Поскольку MN параллельно BC и ND, то плоскость AMN параллельна плоскости ABC. Таким образом, угол между плоскостями ABC и AMN равен углу между прямой AB и прямой AM.

Так как AB=4, AM=3, то треугольник ABM - прямоугольный. Найдем угол между AB и AM по теореме косинусов:
cos(∠BAM) = (AB² + AM² - BM²) / (2ABAM) = (4² + 3² - 3²) / (243) = 16 / 24 = 2 / 3
∠BAM = arccos(2 / 3) ≈ 48.19°

Ответ: угол между плоскостями ABC и AMN равен примерно 48.19°.

б) Плоскость 4MN делит параллелепипед на два тетраэдра и параллелепипед ABMN. Объемы тетраэдра равны одной трети объема параллелепипеда, так как высота тетраэдра равна трети высоты параллелепипеда.

Следовательно, отношение объемов многогранников, на которые плоскость 4MN делит параллелепипед, равно 2:1.

Ответ: отношение объемов равно 2:1.