Решение задачи по математике В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник со сторонами равными 10 см и 12 см. Основание высоты пирамиды лежит квадрата и удалено от двух его сторон AB и AD на расстояния, равные 2см и 3см. Через высоту пирамиды, равную 10 см, проведено сечение таким образом, что отношение объемов полученных частей – наибольшее.

а). Выполните чертеж и необходимые дополнительные построения.

б). Обоснуйте условия наибольшего отношения полученных объемов

в). Найдите отношение полученных объемов.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) На рисунке ниже изображен чертеж задачи.

[
\begin{array}{l}
A, B, C, D - \text{вершины четырехугольной пирамиды} \
S - \text{центр квадрата} \
E, F - \text{точки на сторонах AB и AD, соответственно}
\end{array}
]

[
\begin{array}{l}
\overline{AB} = 12 \text{ см}, \overline{AD} = 10 \text{ см} \
\overline{BE} = 2 \text{ см}, \overline{DF} = 3 \text{ см} \
\text{Высота пирамиды } h = 10 \text{ см}
\end{array}
]

[
\begin{array}{l}
EF \perp AB, EF \perp AD \
EF \text{ - высота } h_p \
GH = 10 \text{ см}
\end{array}
]

[
\begin{array}{l}
BE^2 + EA^2 = BA^2 \Rightarrow EA = \sqrt{AB^2 - BE^2} = \sqrt{12^2 - 2^2} = \sqrt{142} \
DF^2 + AF^2 = AD^2 \Rightarrow AF = \sqrt{AD^2 - DF^2} = \sqrt{10^2 - 3^2} = \sqrt{91}
\end{array}
]

б) Пусть объем большей части пирамиды равен (V_1), а объем меньшей части равен (V_2). Тогда, для определения условий наибольшего отношения объемов (V_1/V_2), обратимся к теореме о сечениях пирамиды плоскостями, параллельными основанию:

[
\frac{V_1}{V_2} = \left( \frac{h_p}{h} \right)^3
]

Таким образом, наибольшее отношение объемов будет, когда высота площади EF равна высоте пирамиды h, т.е. (h_p = h = 10 \text{ см}).

в) Подставим (h_p = 10 \text{ см}) в формулу и найдем отношение объемов:

[
\frac{V_1}{V_2} = \left( \frac{10}{10} \right)^3 = 1
]

Ответ: Отношение объемов полученных частей равно 1.