Множества и подмножества Число подмножеств n элементного множества, содержащих 3 элемента, меньше на 1 числа подмножества n + 2-элементного множества, содержащих 2 элемента. Определите n

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть n-элементное множество содержит 3 элемента, тогда количество подмножеств в таком множестве будет равно C(n, 3) = n!/(3!(n-3)!) = n(n-1)(n-2)/6.

Так как количество подмножеств n-элементного множества, содержащих 3 элемента, на 1 меньше, чем количество подмножеств n+2-элементного множества, содержащих 2 элемента, то имеем:

n(n-1)(n-2)/6 = (n+2)(n+1)/2 - 1

n(n-1)(n-2)/6 = (n^2 + 3n + 2)/2 - 1

n(n-1)(n-2)/6 = (n^2 + 3n)/2 + 1

Умножим обе части уравнения на 6 и преобразуем:

3n(n-1)(n-2) = 3n^2 + 9n + 6 + 12

3n^3 - 3n^2 - 6n = 3n^2 + 9n + 18

3n^3 - 6n = 12n + 18

3n^3 - 18n - 12n - 18 = 0

3n^3 - 30n - 18 = 0

n^3 - 10n - 6 = 0

n ≈ 3.439

Поскольку n - это целое число, ближайшее к 3.439 - это 4.

Итак, n = 4.