Диагонали равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD и BC пересекаются в точке P . Описанная окружность треуго... Диагонали равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD и BC пересекаются в точке P . Описанная окружность треугольника BCP повторно пересекает прямую CD в точке X . Точка Y выбрана на прямой BX так, что DX∥AY . Докажите, что ∠YAB=2∠YDB .

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия мы знаем, что треугольник BCP равнобедренный, поэтому у него угол BCP равен углу CBP. Поскольку угол CBP равен углу CXP (вписанный угол), то угол BCP также равен углу CXP.

Также из условия мы видим, что угол DXP равен углу BCP (повторно вписанный угол). Из этого следует, что угол BCP равен углу DXP.

Теперь обратим внимание на треугольники ADX и AYD. У нас есть параллельные прямые DX и AY, значит, угол ADX равен углу YDA.

Следовательно, углы DXA и YDA равны. Но у нас уже есть, что угол DXP и BCP, а также BCP и CXP равны между собой. Значит, углы DXA и CXA также равны.

Теперь рассмотрим треугольник CXA. Очевидно, что угол CXA является внешним по отношению к треугольнику BCP. Поэтому он равен сумме углов CXP и BCP.

Из этого следует, что углы CXA и DXA равны между собой. Но мы уже установили, что угол DXA равен углу YDA, поэтому углы CXA и YDA равны.

И, наконец, угол YAB равен углу CXA, а угол YDB равен углу DXA. Таким образом, ∠YAB=2∠YDB.