Доказать простую задачу по геометрии На сторонах АВ и BC треугольника АВС взяли точки P и Q, а на стороне АС – точку Е. Докажите, что отрезок ВЕ пересекает прямую PQ.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства этой задачи проведем прямую BE и рассмотрим два треугольника BEQ и BPE.

Из условия известно, что точка Q лежит на отрезке AB, а точка E лежит на отрезке AC. Так как отрезок АС является основанием треугольника ABC, а точка E лежит на этом отрезке, то отрезок BE является высотой данного треугольника.

Рассмотрим треугольник BEQ. Так как отрезок ВЕ является высотой треугольника ABC, а отрезок BQ принадлежит стороне BC, то треугольник BEQ является прямоугольным (так как высота, проведенная к гипотенузе, является также медианой и биссектрисой).

Теперь рассмотрим треугольник BPE. Так как отрезок ВЕ является высотой треугольника ABC, а отрезок BP принадлежит стороне AB, то треугольник BPE также является прямоугольным.

Из данных нам треугольников BEQ и BPE следует, что у этих треугольников общий угол EPQ (он равен и в двух треугольниках). Значит, углы BPE и BEQ равны, и прямые PQ и BE пересекаются.

Таким образом, отрезок ВЕ пересекает прямую PQ.