Задача по геометрии. Буду благодарна за помощь в решении. Около правильного треугольника описана окружность и в него вписана окружность. Площадь большего круга равна 64 π см^2.
Найдите площадь треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть R - радиус описанной окружности, r - радиус вписанной окружности, а a - сторона треугольника.

Так как описанная окружность касается каждой из сторон треугольника, то точки касания делят стороны треугольника на 3 равные части. Поэтому из центра описанной окружности можно провести перпендикуляры к сторонам треугольника, которые будут равны R, R и R√3, т.е. сумма сторон треугольника 3a = R + R + R√3 = 3R + R√3.

Также известно, что площадь описанного круга равна S1 = πR^2 = 64π, откуда найдем R = 8 см.

Так как вписанная окружность касается сторон треугольника, проведем такие же перпендикуляры из центра вписанной окружности, которые будут равны r, r и r√3/2. Таким образом, сумма сторон треугольника будет равна 3a = r + r + r√3/2 = 2r + r√3/2.

Так как площадь вписанного круга равна S2 = πr^2, откуда найдем r = 4 см.

Теперь можем найти сторону треугольника a = (2r + r√3/2)/3 = (24 + 4√3/2)/3 = (8 + 4*√3)/3.

Площадь треугольника равна S = √3/4 a^2 = √3/4 (8 + 4*√3)^2/9 = 16√3 см^2.