Найти радиус вписанной окружности.
В прямоугольном треугольнике `ABC` расстояние от точки пересечения медиан до одного из катетов равно `5`, а до гипотенузы равно `4`. Найти радиус вписанной окружности.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим точку пересечения медиан треугольника ABC как точку O.

Так как точка O делит медианы треугольника на относительно звеньев 2:1, то можем разделить медиану, исходящую из вершины угла прямоугольного треугольника, на две части в отношении 2:1. Пусть точка пересечения медианы с гипотенузой обозначена как D, а точка пересечения медианы с катетом обозначена как E.

Таким образом, OD = 2 * 4 = 8, а OE = 5.

Так как точка O - центр вписанной окружности треугольника ABC, то по свойству медианы из точки O проведем перпендикуляр к стороне AB, и он будет равен радиусу вписанной окружности r.

Так как треугольник AOB - прямоугольный, то по теореме Пифагора: AB^2 = OA^2 + OB^2. Зная, что AB = 8 и OA = r, найдем OB.

OB = √(AB^2 - OA^2) = √(8^2 - r^2)

Так как точка O является центром вписанной окружности, то по теореме о касательной и радиусе, OB = r.

Имеем уравнение: r = √(8^2 - r^2)

Решая уравнение, получим:
r^2 = 64 - r^2
2r^2 = 64
r^2 = 32
r = √32 = 4√2

Таким образом, радиус вписанной окружности в прямоугольном треугольнике ABC равен 4√2.