Найти значение первой и второй производной функций y=f(x) y=ln(x)/x^2, в точке x0= 1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения первой и второй производной функции y=ln(x)/x^2 в точке x0=1, нужно сначала найти саму функцию, затем найти ее первую и вторую производные.

y=ln(x)/x^2

Сначала найдем первую производную функции y=ln(x)/x^2, используя правило дифференцирования частного:

y' = (x^2 (1/x) - ln(x) 2x) / (x^4) = (x - 2xln(x)) / x^4 = (1 - 2lnx) / x^3

Теперь найдем вторую производную функции, используя правило дифференцирования частного:

y'' = [(x^3 (1 - 2ln(x)) - (1 - 2ln(x)) 3x^2] / x^6 = (x^3 - 2x^3ln(x) - 3x^2 + 6x^2ln(x)) / x^6 = (-2ln(x)x^3 + 3x^2 - x^2) / x^6 = (-2ln(x) + 3 - 1) / x^4 = (2(1 - ln(x) - 3)) / x^4 = -2(1 - ln(x) - 3) / x^4

Теперь подставим x0=1 в полученные выражения, чтобы найти значения первой и второй производных в точке x0=1:

y'(1) = (1 - 2ln(1)) / 1^3 = (1 - 0) / 1 = 1

y''(1) = -2(1 - ln(1) - 3) / 1^4 = -2(1 - 0 - 3) / 1 = -2(-2) = 4

Таким образом, значение первой производной функции y=ln(x)/x^2 в точке x0=1 равно 1, а значение второй производной равно 4.