Выш. мат Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Даны точки А1, А2, А3, А4. Найти:
a) уравнение и длину высоты А40, опущенной из А4 на грань А1А2 А3;
б) уравнение медианы А4С грани А1А2А4;
b) объём тетраэдра А1А2A3A4;
г) угол между прямой А1А3 и плоскостью А1А2А3.
Если A,(2,3,2), A2(8,0, -4), A,(11,1,0), A,(3,5,4).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Уравнение плоскости, содержащей грань А1А2А3 и проходящей через точку А4(3,5,4):
Найдем направляющий вектор этой плоскости:
Вектор AB = B - A = (8-2, 0-3, -4-2) = (6, -3, -6)
Вектор AC = C - A = (11-2, 1-3, 0-2) = (9, -2, -2)
Нормальный вектор на плоскость: n(A1A2A3) = AB x AC = i(6(-2) -(-3)(-2)) - j(69 - (-3)(-2)) + k(6(-2) - (-3)9) = i(-12 -6) - j(54 -6) + k(-12 - 27) = i(-18) - j(48) + k(-39) = (-18, 48, -39)

Уравнение плоскости:
-18x + 48y - 39z + D = 0
Подставляем координаты точки А4(3,5,4):
-183 + 485 - 39*4 + D = -54 + 240 - 156 + D = 30
D = -54 + 240 - 156 + 30 = 60

Уравнение плоскости:
-18x + 48y - 39z + 60 = 0

Теперь найдем длину высоты А40, проведенной из вершины А4 до плоскости А1А2А3:
h = |(-183 + 485 - 39*4 + 60)| / √((-18)^2 + 48^2 + (-39)^2) = |(-54 + 240 - 156 + 60)| / √(324 + 2304 + 1521) = |90| / √(4149) = 90 / 64.4 ≈ 1.40

б) Уравнение медианы А4C грани А1А2А4:
Медиана А4C грани А1А2А4 проходит через середину ребра А1А2 и вершину А4.

Середина ребра А1А2: (s_х, s_у, s_z) = ((2+8)/2, (3+0)/2, (2+(-4))/2) = (5, 1.5, -1)
Уравнение прямой, проходящей через точки А4(3,5,4) и середину ребра:
x = 3 + t(5-3) = 3 + 2t
y = 5 + t(1.5-5) = 5 - 3.5t
z = 4 + t(-1-4) = 4 - 5t

Уравнение медианы:
x = 3 + 2t
y = 5 - 3.5t
z = 4 - 5t

в) Объем тетраэдра А1А2А3А4:
Площадь основания:
S1 = 1/2 * |[(8-2)(1-0) - (0-3)(-4-2) + (3-8)(5-0)]| = 27

Расстояние между вершиной A4 и плоскостью основания: h = ((-182 + 480 - 39*(-4) + 60) / √((-18)^2 + 48^2 + (-39)^2) = 90 / √4149 = 90 / 64.4 = 1.40

V = 1/3 S1 h = 1/3 27 1.40 ≈ 12

г) Угол между прямой А1А3 и плоскостью А1А2А3:
Нормальный вектор плоскости A1A2A3 - n(A1A2A3) = (-18, 48, -39)
Направляющий вектор прямой A1A3 - A3 - A1 = (11-2, 1-3, 0-2) = (9, -2, -2)

Угол между векторами: cos(α) = (n, m) / (|n| |m|) = -189 + 48(-2) + -39(-2) / (√((-18)^2 + 48^2 + (-39)^2) √(9^2 + (-2)^2 + (-2)^2)) = -162 -96 + 78 / (64.4 9.27) = -180 / 592.988 = -0.303
α = arccos(-0.303) ≈ 108.38°

Ответ:
а) Уравнение плоскости: -18x + 48y - 39z + 60 = 0, длина высоты A40 ≈ 1.40
б) Уравнение медианы: x = 3 + 2t, y = 5 - 3.5t, z = 4 - 5t
в) Объем тетраэдра ≈ 12
г) Угол между прямой А1А3 и плоскостью А1А2А3 ≈ 108.38°