Докажите, что данное неравенство верно при любых значениях переменных x и y x²+5y²-4xy-6y+10>0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства этого неравенства можно воспользоваться признаком положительной или отрицательной определенности квадратичной формы.

Раскроем выражение x² + 5y² - 4xy - 6y + 10:

x² + 5y² - 4xy - 6y + 10 = (x - 2y)² + y² - 6y + 10.

Далее мы видим, что в квадратном выражении (x - 2y)² всегда будет положительным исходя из свойств квадрата числа.

Теперь проанализируем оставшиеся слагаемые y² - 6y + 10. Это квадратное уравнение относительно переменной y, его дискриминант D:

D = (-6)² - 4 1 10 = 36 - 40 = -4.

Дискриминант меньше нуля, что говорит о том, что данное квадратное уравнение не имеет корней в области действительных чисел и его значение всегда будет положительным.

Следовательно, положив x = 0 и y = 0, мы видим, что исходное неравенство x² + 5y² - 4xy - 6y + 10 > 0 выполняется для любых значений переменных x и y.