Здравствуйте. Помогите пожалуйста вычислить а) синус угла между прямой AD и плоскостью АВС; б) косинус угла между координатной плоскостью Оху и плоскостью АВС. Координаты точек: А(3,2,5),В(3,0,6),С(2,6,5),D(6,4,-1)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для вычисления синуса угла между прямой AD и плоскостью ABC найдем вектора, которые лежат на этой прямой и плоскости.

Вектор прямой AD:
AD = D - A = (6 - 3, 4 - 2, -1 - 5) = (3, 2, -6)

Нормальный вектор плоскости ABC можно найти используя векторное произведение векторов AB и AC:
n = AB x AC = (3-3, 0-2, 6-5) x (2-3, 6-2, 5-5) = (0,-2,1) x (-1,4,0) = (-8,-1,2)

Теперь найдем угол между векторами AD и n, используя скалярное произведение:
sin(θ) = |AD x n| / (|AD| |n|)
|AD x n| = sqrt((2(-6) - (-1)3)^2 + ((-6)(-8) - 3(-1))^2 + (32 - 2*(-6))^2) = sqrt(225) = 15
|AD| = sqrt(3^2 + 2^2 + (-6)^2) = sqrt(49) = 7
|n| = sqrt((-8)^2 + (-1)^2 + 2^2) = sqrt(69)

sin(θ) = 15 / (7 * sqrt(69))

Для вычисления косинуса угла между координатной плоскостью Oxу и плоскостью ABC найдем нормальный вектор плоскости ABC и вектор, который принадлежит координатной плоскости Oxу:
n = (-2,1,0)

cos(θ) = |n m| / (|n| |m|)
|n m| = |(-2,1,0) (1,0,0)| = |-2|
|m| = |(1,0,0)| = 1

cos(θ) = |-2| / (1 * 1) = 2

Таким образом, синус угла между прямой AD и плоскостью ABC равен 15 / (7 * sqrt(69)), а косинус угла между координатной плоскостью Oxу и плоскостью ABC равен 2.