Решить задачу стереометрии В пирамиде ABCD точки M, F и K – середины рёбер BC, AD и CD соответственно. На прямых AM и CF взяты соответственно точки P и Q, причём
PQ || BK. Найдите отношение PQ : BK.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим длину ребра пирамиды AB а, длину ребра пирамиды CD b, а длину ребра пирамиды BC c.

Так как точка M - середина ребра BC, то BM = MC = c/2, а так как PQ || BK, то MP = PB, то есть AP = a/2. Так же из подобия треугольников ABP и ACK получаем, что AC = 2AP = a и тогда АМ = MC = c/2.

Так как точка F - середина ребра AD, то AF = FD = b/2, а так как PQ || BK, то FQ = QC, то есть CF = 2FQ = a. Так же из подобия треугольников ACF и ABQ получаем, что AB = 2AF = b и тогда AD = DF = b/2.

Из прямоугольного треугольника ABC найдем длину диагонали AB:
AB^2 = AC^2 + BC^2,
b^2 = a^2 + c^2.

Теперь рассмотрим треугольник PQC:
PQ^2 + QF^2 = c^2. Так как PQ || BK, то из подобия треугольников ABQ и ACB, AB/AC = BQ/CB, то есть AB = AC BQ / BC = a BQ/c, откуда BQ = AB c/a = c√(b^2 - a^2)/a.

Теперь найдем PQ:
PQ = √(c^2 - QF^2) = √(c^2 - FQ^2) = c√(1 - b^2/a^2) = c*√((a^2 - b^2) / a^2).

Итак, отношение PQ к BK равно
PQ/BK = (c√((a^2 - b^2) / a^2)) / (c√(b^2 - a^2)/a) = (a^2 - b^2) / b^2 = (a + b)(a - b) / b^2 = (a + b)(a/b - 1) = (a/b - 1)(a + b) = (b/a - 1)(a + b) = b/a - 1.

Ответ: PQ : BK = b/a - 1.