ГЕОМЕТРИЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1. Диагонали а диагональ BD = 10 см.
ромба ABCD пересекаются в точке О. Найдите сторону CD, если угл A-60°, 2. На стороне NP параллелограмма MNPK взята точка F так, что MN = NF. Найдите периметр параллелограмма, если FP = 6 см, PK = 11 см.
3. В трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна боковой стороне AB, угл ADB = угл BDC
= 30°.
a) Докажите, что ABCD - равнобедренный.
б) Найдите длину AD, если периметр трапеции 45 см.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом, то треугольник AOB является прямоугольным.
Так как угол A равен 60°, то угол OAB = 30°.
Из прямоугольного треугольника AOB по теореме синусов получаем:
sin(30°) = AO / AB
1/2 = AO / AB
AO = AB / 2

Также из прямоугольного треугольника АОВ получаем:
sin(60°) = AO / 10
√3 / 2 = AB / 20
AB = 10√3

CD = 2AB = 20√3 см.

Так как MN = NF и MN || FP, то теперь можем расположить точку F на стороне MN так, чтобы NF = MN = x. Получаем, что MP = PK = 11 см (так как параллелограмм), а NP = 2x. Так как периметр параллелограмма равен сумме длин всех его сторон, то имеем:

Per = 2(MN + NP) = 2(2x + 2x) = 8x
Из задачи известно, что FP = 6 см
FP = 2x
2x = 6
x = 3
Теперь можем найти периметр:
Per = 8 * 3 = 24 см.

a) Так как BD - диагональ, то углы BAD и BCD равны между собой.
Из условия углы ADB и BDC равны 30°, а также углы BDC и ABD равны между собой, следовательно, углы ABC и ACD равны между собой, то есть трапеция ABCD - равнобедренная.

б) Пусть AD = x.
Тогда сумма длин сторон трапеции равна периметру, то есть:
AB + BC + CD + AD = 45
Поскольку трапеция равнобедренная, то AB = DC.
Также из условия BD перпендикулярна AB, то есть AD = BD.
Из условия углов ABC и BCD равны между собой, то есть AB = BC.
Имеем систему уравнений:
2AB + 2AD = 45
3x = 45
x = 15

Ответ: длина AD равна 15 см.