Последовательность cn такова, что cn — наименьшее натуральное число, которое делится на 23, и cn − 1 делится на 2^n . Сколько существует пар чисел таких, что cn = cn+1 для n < 1000?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы найти количество пар чисел таких, что cn = cn+1 для n < 1000, нам нужно найти общие делимости для чисел cn и cn+1.

Из условия известно, что cn делится на 23, а cn-1 делится на 2^n. Следовательно, cn = 23a и cn-1 = 2^n b, где a и b - некоторые натуральные числа.

Таким образом, cn+1 = 23c, где c - некоторое натуральное число.

Из условия также следует, что cn = cn+1, поэтому 23a = 23c. Разделив обе части на 23, получим a = c.

Таким образом, количество пар чисел, таких что cn = cn+1 для n < 1000, равно количеству натуральных чисел a, для которых 2^n b делится на 23: b = 2^(n-1).

Примем b = 2^999 (так как n < 1000), тогда количество таких пар чисел будет равно количеству натуральных чисел a, для которых 2^999 делится на 23, то есть кратных 2^999/23 = 2^976.

Другими словами, количество пар чисел равно 2^976.